Polinomios esferoidales universalmente contragénicos

Plática dada por Raybel García (Facultad de Ciencias de la UNAM) en el Coloquio de Orientación Matemática el jueves 25 de julio del 2019 en el Auloa Sotero Prieto 3 del Amoxcalli en la Facultad de Ciencias de la UNAM

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Resumen:
Un resultado muy conocido dentro del análisis complejo dice que toda función armónica u:D(0; 1)→ℂ, donde D(0; 1), denota el disco unitario, es expresable como la suma de una función holomorfa y una función antiholomorfa. Este resultado tiene muchas ; por ejemplo, es posible desarrollar métodos, como el método de Fornberg, para encontrar mapeos conformes definidos sobre D(0; 1). Por otra parte, existen muchas generalizaciones para las funciones monogénicas en el álgebra de cuaterniones (H), álgebras de y funciones monogénicas de ℝ³ a H. Sin embargo, la generalización natural para las funciones monogénicas de ℝ³ a ℝ³ no se cumple (véase [1]). En consecuencia, es posible encontrar funciones armónicas que son ortogonales al sistema de funciones monogénicas y antimonogénicas en el sentido de L₂, denominadas funciones contragénicas. En [1] se calculó la base ortogonal de los contragénicos para la bola B³. En esta plática, basados en técnicas y resultados estudiados en [3] se construirán polinomios monogénicos para esferoides de la forma x²+(y²+z²)/e^{ν}, ν∈ℝ. Además, basados en resultados obtenidos recientemente y publicados en [2], se presenta una expresion de éstos en términos de los monogénicos esféricos y sistemas de polinomios contragénicos de grado n que son base para el conjunto de polinomios contragénicos de grado a lo más n. Finalmente, se presentarán algunos resultados recientes y consecuencias obtenidas en la investigación realizada en [4] dentro del contexto de los sistemas de funciones contragénicas esferoidales.

[1] C. Álvarez-Peña, R. M. Porter, (2013), Contragenic functions of three variables, Complex Anal. Oper. Theory. 7:1.
[2] R.García A., J. Morais, R. M. Porter, (2018), Contragenic functions on spheroidal domains, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Volume 41, Issue 7, 2575-2589.
[3] J. Morais, (2013), A complete orthogonal system of Spheroidal Monogenics, Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics 6 (3-4), 105-119.
[4] R. García, J. Morais, R. M. Porter, (2018), Relations among spheroidal harmonics and universal spheroidal contragenics, Preprint

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