Video proporcionado por Seminario de Teoría de y Contacto en Diferencial

Curva de elipses, sus cáusticas, de y centros de curvaturas

https://drive.google.com/file/d/17lwlg1f9GkBlFQsXu9W8rwTRAqbHA1WG/view?usp=sharing

En este video mostramos en color rojo una animación de una curva de elipses en el (x,y). Para cada elipse tenemos en el mismo plano, en azul, su curva de centros de curvatura, que es llamada cáustica o evoluta. Esta curva se puede obtener viajando a partir de cada punto de la elipse en su dirección normal, hacia dentro de la elipse, una distancia igual al radio de curvatura, que es igual al inverso de la curvatura en el punto.

En el cilindro verde, que corresponde al conjunto de vectores normales a la elipse y que es llamado el haz normal de la elipse, mostramos las gráficas de la curvatura de la elipse, en verde y de su radio de curvatura en azul. En la animación se puede ver que en los puntos de la elipse que que corresponden a máximos o mínimos de dichas gráficas, la cáustica presenta singularidades, es decir, picos o cúspides, y es en estos puntos donde la cáustica se encuentra más cerca o lejos de sus pies de las normales correspondientes en la elipse. También podemos ver que la circunferencia es una elipse cuya simetría hace que la cáustica colapse en un punto.

Adicionalmente podemos decir, aunque ya no se ve directamente en la animación que la cáustica es el conjunto de valores singulares del mapeo normal, que es un mapeo que a cada vector normal de la elipse lo envía a un punto del plano ℝ² al cual llegamos anclando dicho vector normal en el correspondiente punto de la elipse. Este mapeo se hace singular en los puntos del haz normal que conforman gráfica de los radios de curvatura, es decir, en la curva azul y esa curva es enviada a la cáustica por el mapeo normal, de tal manera que los planos tangentes al haz normal a lo largo de la gráfica de los radios de curvatura colapsan en las rectas tangentes a la cáustica por lo que la cáustica es el conjunto de valores singulares del mapeo normal.

Notamos que cuando la elipse se vuelve una circunferencia el mapeo normal colapsa la toda la curva de radios de curvatura en punto, es decir, toda la curva azul en el cilindro verde va en el centro de la circunferencia, haciéndola de cierta manera un valor singular cocentrado. Es algo análogo a lo que pasa cuando tomamos de manera adecuada una curva de funciones de ℝ²→ℝ² que pasa por la función z² de variable compleja, en ese caso también, la curva de valores singulares colapsa en un solo punto: el cero en la imagen de función z² de variable compleja.

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