Cómo definir una medida μ sobre borelianos de ℝⁿ a partir de función de distribución F:ℝⁿ→ℝ
de Integración Estocástica 2-04

Impartido por el Dr. Miguel Ángel García Álvarez
Moderadora: Claudia Reyes; Difusión: Efraín Vega y Ciencias TV

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En la sesión del martes pasado (7 de junio) vimos cómo se puede definir una medida μ sobre los borelianos de ℝ a partir de una función F: ℝ↦ ℝ, con las propiedades que caracterizan a una función de distribución de una variable aleatoria, de tal manera que:
μ((a,b]) = F(b) – F(a)
para cualquier pareja de números reales, a y b, tales que a sea menor que b.

En la sesión de hoy (martes 14 de junio) veremos el resultado análogo para el caso de una función F: ℝⁿ ↦ ℝ, con las propiedades que caracterizan a una función de distribución conjunta de n variables aleatorias. Es decir, definiremos una medida μ_n sobre los borelianos de ℝⁿ de tal manera que:
μ_n ((-∞,x₁]×⋯×(-∞,x_n]) = F(x₁,…,x_n)
para cualquier elemento (x₁,…,x_n) ∈ ℝⁿ.
En el caso de n variables, la expresión para la medida de una celda, (a₁,b₁]×⋯×(a_n,b_n], de ℝⁿ es más complicada que en el caso de una sola variable. Sin embargo, no lo es tanto ya que se puede expresar como una suma de los valores de la función F evaluada en los vértices de la celda. La expresión que resulta, si bien es larga, es simple ya que los valores de F que contengan ya sea cero o un número par de coordenadas a_i’s se suman; los demás, se restan. Por ejemplo:
μ((a₁,b₁]×(a₂,b₂]×(a₃,b₃])
= F(b₁,b₂,b₃) + F(a₁,a₂,b₃) + F(a₁,b₂,a₃) + F(b₁,a₂,a₃)
-F(a₁,b₂,b₃) – F(b₁,a₂,b₃) – F(b₁,b₂,a₃) – F(a₁,a₂,a₃)
La diferencia entre el caso unidimensional y el multidimensional consiste en que en este último hay que considerar que la medida de cualquier celda es no negativa, así que la función F debe ser tal que la expresión que nos da la medida de una celda en términos de F tiene que ser no negativa. En el caso unidimensional basta con que F sea no decreciente para que se cumpla esto, pero, para el caso multidimensional no es suficiente que F sea no decreciente en cada una de las variables.

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